∫0π2sin⁡(2x).ln⁡(tan⁡x)dx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left ( 2 x ight )} . \ln{\left ( an{x} ight )} dx এর মান কত?

Question

∫0π2sin⁡(2x).ln⁡(tan⁡x)dx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left ( 2 x ight )} . \ln{\left ( 	an{x} ight )} dx  এর মান কত?

Accepted Answer

গ. 0

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \ln(	an x) \, dx \quad 	ext{--- (i)}$$

নির্দিষ্ট সমাকলনের ধর্ম অনুযায়ী, $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$।

এখানে $a = 0$ এবং $b = \frac{\pi}{2}$ হওয়ায়, $x$-এর স্থলে $\left(\frac{\pi}{2} - xight)$ বসিয়ে পাই:
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} - xight)ight) \ln\left(	an\left(\frac{\pi}{2} - xight)ight) \, dx$$
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\pi - 2x) \ln(\cot x) \, dx$$

যেহেতু $\sin(\pi - 2x) = \sin(2x)$ এবং $\ln(\cot x) = \ln\left(\frac{1}{	an x}ight) = -\ln(	an x)$, সুতরাং:
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\sin(2x) \ln(	an x) \, dx$$
$$I = -I$$
$$2I = 0 \implies I = 0$$

অতএব, সমাকলনটির সঠিক মান হলো 0।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন