গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণ $27x^2 + 6x - (p+2) = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\alpha^2$।

মূলদ্বয়ের যোগফল,
$\alpha + \alpha^2 = -\frac{6}{27} = -\frac{2}{9}$
$\Rightarrow 9\alpha^2 + 9\alpha + 2 = 0$
$\Rightarrow 9\alpha^2 + 6\alpha + 3\alpha + 2 = 0$
$\Rightarrow 3\alpha(3\alpha + 2) + 1(3\alpha + 2) = 0$
$\Rightarrow (3\alpha + 1)(3\alpha + 2) = 0$
$\therefore \alpha = -\frac{1}{3}$ অথবা $\alpha = -\frac{2}{3}$

আবার, মূলদ্বয়ের গুণফল,
$\alpha \cdot \alpha^2 = \frac{-(p+2)}{27}$
$\Rightarrow \alpha^3 = -\frac{p+2}{27}$
$\Rightarrow p+2 = -27\alpha^3$
$\Rightarrow p = -27\alpha^3 - 2$

এখন,
$\alpha = -\frac{1}{3}$ হলে, $p = -27\left(-\frac{1}{27}\right) - 2 = 1 - 2 = -1$
$\alpha = -\frac{2}{3}$ হলে, $p = -27\left(-\frac{8}{27}\right) - 2 = 8 - 2 = 6$

অতএব, নির্ণেয় $p$ এর মান $-1$ অথবা $6$।