গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ $x - y + 2 = 0$ এবং উপকেন্দ্র $S(1, -1)$।

পরাবৃত্তের অক্ষ স্পর্শক রেখার উপর লম্ব এবং উপকেন্দ্র $S(1, -1)$ দিয়ে যায়।
অতএব অক্ষরেখার সমীকরণ হবে:
$(x - 1) + (y - (-1)) = 0 \Rightarrow x + y = 0$

শীর্ষবিন্দু $A$ হলো স্পর্শক এবং অক্ষরেখার ছেদবিন্দু:
$x - y + 2 = 0$ এবং $x + y = 0$ সমাধান করে পাই,
$x = -1, y = 1$
অতএব, শীর্ষবিন্দু $A(-1, 1)$।

ধরি, দিকাক্ষ ও অক্ষের ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$।
যেহেতু শীর্ষবিন্দু $A$, $S$ ও $Z$-এর মধ্যবিন্দু:
$\frac{\alpha + 1}{2} = -1 \Rightarrow \alpha = -3$
$\frac{\beta - 1}{2} = 1 \Rightarrow \beta = 3$
সুতরাং, $Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-3, 3)$।

দিকাক্ষটি শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমান্তরাল এবং $Z(-3, 3)$ বিন্দুগামী।
অতএব দিকাক্ষের সমীকরণ:
$x - y - (-3 - 3) = 0 \Rightarrow x - y + 6 = 0$

এখন, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে $SP = PM$:
$\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 1)^2} = \frac{|x - y + 6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
বর্গ করে পাই,
$2[(x - 1)^2 + (y + 1)^2] = (x - y + 6)^2$
$\Rightarrow 2(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) = x^2 + y^2 + 36 - 2xy + 12x - 12y$
$\Rightarrow 2x^2 + 2y^2 - 4x + 4y + 4 = x^2 + y^2 - 2xy + 12x - 12y + 36$
$\Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 - 16x + 16y - 32 = 0$
$\Rightarrow (x + y)^2 - 16(x - y + 2) = 0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + 2xy + y^2 - 16x + 16y - 32 = 0$।