গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
$x_1 = e^{1+2y}$
$x_2 = e^{1-y}$

বক্ররেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর জন্য,
$e^{1+2y} = e^{1-y}$
$\implies 1+2y = 1-y$
$\implies 3y = 0 \implies y = 0$

যেহেতু সীমা $y = -2$ থেকে $y = 1$, তাই ক্ষেত্রটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করা যায়:
(i) $-2 \le y \le 0$ সীমার মধ্যে $e^{1-y} \ge e^{1+2y}$
(ii) $0 \le y \le 1$ সীমার মধ্যে $e^{1+2y} \ge e^{1-y}$

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল,
$A = \int_{-2}^0 (e^{1-y} - e^{1+2y}) \, dy + \int_0^1 (e^{1+2y} - e^{1-y}) \, dy$

প্রথম অংশ:
$\int_{-2}^0 (e^{1-y} - e^{1+2y}) \, dy = \left[ -e^{1-y} - \frac{1}{2}e^{1+2y} \right]_{-2}^0$
$= \left( -e - \frac{1}{2}e \right) - \left( -e^3 - \frac{1}{2}e^{-3} \right) = e^3 - \frac{3}{2}e + \frac{1}{2}e^{-3}$

দ্বিতীয় অংশ:
$\int_0^1 (e^{1+2y} - e^{1-y}) \, dy = \left[ \frac{1}{2}e^{1+2y} + e^{1-y} \right]_0^1$
$= \left( \frac{1}{2}e^3 + 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e + e \right) = \frac{1}{2}e^3 - \frac{3}{2}e + 1$

সুতরাং মোট ক্ষেত্রফল:
$A = \left( e^3 - \frac{3}{2}e + \frac{1}{2}e^{-3} \right) + \left( \frac{1}{2}e^3 - \frac{3}{2}e + 1 \right)$
$= \frac{3}{2}e^3 - 3e + 1 + \frac{1}{2e^3} \approx 22.997 \text{ বর্গ একক}$