পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যদি কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $X$ এমন হয় যে তার মান $0, 1, 2, \dots, \infty$ পর্যন্ত হতে পারে এবং এর সম্ভাবনা ফাংশন $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ (যেখানে $\lambda > 0$ বিন্যাসের পরামিতি) মেনে চলে, তবে সেই চলককে পৈঁসু চলক বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের গড় এবং ভেদাঙ্ক সমান। অর্থাৎ, $\text{গড়} = \lambda$ এবং $\text{ভেদাঙ্ক} = \lambda$।

   সুতরাং, পরিমিত ব্যবধান $\sigma = \sqrt{\text{ভেদাঙ্ক}} = \sqrt{\lambda}$।
   প্রশ্নে দেওয়া আছে,
   গড় $\lambda = 4$
   তাহলে, পরিমিত ব্যবধান $\sigma = \sqrt{4} = 2$।

   যেহেতু গড় $4$ হলে পরিমিত ব্যবধান গাণিতিকভাবে $2$ পাওয়া যায়, তাই 'পৈঁসু বিন্যাসের গড় ৪ এবং পরিমিত ব্যবধান ২' বক্তব্যটি সঠিক ও সংগতিপূর্ণ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   একটি প্যাকেটে জ্যাকেটের সংখ্যা, $n = 100$
   একটি জ্যাকেট খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা, $p = 0.2\% = \frac{0.2}{100} = 0.002$

   যেহেতু এখানে চেষ্টার সংখ্যা $n$ বেশ বড় এবং সাফল্যের সম্ভাবনা $p$ খুবই কম ($p \to 0$), সেহেতু এটি পৈঁসু বিন্যাস অনুসরণ করে।

   অতএব, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, $\lambda = np = 100 \times 0.002 = 0.2$

   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots$

   এখানে, খারাপ জ্যাকেটের সংখ্যা $x = 2$ এর জন্য সম্ভাবনা:
   $P(X = 2) = \frac{e^{-0.2} \times (0.2)^2}{2!}$
   $= \frac{0.81873 \times 0.04}{2}$
   $= \frac{0.032749}{2} \approx 0.0164$

   অতএব, $P(X = 2) = 0.0164$ (বা $1.64\%$ প্রায়)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ম্যানেজারের বক্তব্য: ১০০০টি তৈরিকৃত জ্যাকেটের মধ্যে ৪০০টির বেশি খারাপ হবে না।

   এখানে মোট জ্যাকেটের সংখ্যা, $n = 1000$
   খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা, $p = 0.002$
   খারাপ না হওয়ার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - 0.002 = 0.998$

   খারাপ জ্যাকেটের প্রত্যাশিত সংখ্যা (গড়),
   $E(X) = \mu = np = 1000 \times 0.002 = 2$

   ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = npq = 1000 \times 0.002 \times 0.998 = 1.996$
   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{1.996} \approx 1.413$

   এখানে প্রত্যাশিত খারাপ জ্যাকেটের সংখ্যা মাত্র ২টি। পরিমিত ব্যবধান বিবেচনায় সর্বোচ্চ সম্ভাব্য খারাপ জ্যাকেটের সংখ্যা $\mu + 3\sigma = 2 + 3(1.413) \approx 6.24$ বা ৭টির বেশি হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় শূন্য (০.২৭%)।

   সুতরাং, ১০০০টি জ্যাকেটের মধ্যে ৪০০টির বেশি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা, $P(X > 400) \approx 0$।

   অতএব, কোনো অবস্থাতেই খারাপ জ্যাকেটের সংখ্যা ৪০০ ছাড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা নেই। সুতরাং ম্যানেজারের বক্তব্যটি সম্পূর্ণ সত্য ও বাস্তবসম্মত।