গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত,
$y = \tan^{-1}\left( \frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}} \right)$

ধরি, $u = \frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}$
তাহলে, $y = \tan^{-1}(u)$

$x$-এর সাপেক্ষে $u$-কে অন্তরীকরণ করে পাই:
$\frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{1-4x^2} \cdot \frac{d}{dx}(4x) - 4x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{1-4x^2}\right)}{1-4x^2}$
$= \frac{4\sqrt{1-4x^2} - 4x \cdot \frac{-8x}{2\sqrt{1-4x^2}}}{1-4x^2}$
$= \frac{4(1-4x^2) + 16x^2}{(1-4x^2)^{3/2}}$
$= \frac{4 - 16x^2 + 16x^2}{(1-4x^2)^{3/2}} = \frac{4}{(1-4x^2)^{3/2}}$

এখন, চেইন রুল প্রয়োগ করে:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$
$= \frac{1}{1 + \frac{16x^2}{1-4x^2}} \cdot \frac{4}{(1-4x^2)^{3/2}}$
$= \frac{1-4x^2}{(1-4x^2) + 16x^2} \cdot \frac{4}{(1-4x^2)\sqrt{1-4x^2}}$
$= \frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}$