গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\tan^{-1}(x+\alpha) - \tan^{-1}x = \frac{\pi}{4}$

বা, $\tan^{-1}\left(\frac{x+\alpha - x}{1 + (x+\alpha)x}\right) = \frac{\pi}{4}$

বা, $\frac{\alpha}{1 + x^2 + \alpha x} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

বা, $1 + x^2 + \alpha x = \alpha$

বা, $x^2 + \alpha x + (1 - \alpha) = 0$

এটিই $x$ ও $\alpha$-এর মধ্যকার সম্পর্ক।

$x$-এর দ্বিঘাত সমীকরণ হিসেবে সমাধান করে পাই:
$x = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4(1-\alpha)}}{2} = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 4}}{2}$

যেহেতু $x$ বাস্তব, তাই সমীকরণটির নিশ্চয়ক $D \ge 0$ হতে হবে:
$\alpha^2 + 4\alpha - 4 \ge 0$
$\Rightarrow (\alpha + 2)^2 \ge 8$
$\Rightarrow \alpha \ge 2\sqrt{2} - 2$ অথবা $\alpha \le -2 - 2\sqrt{2}$

শর্তানুসারে $x > 0$ এবং $x > \alpha$:
যদি $\alpha > 0$ ধরা হয়, তবে $x > \alpha$ হতে হলে $\sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 4} > 3\alpha \Rightarrow 8\alpha^2 - 4\alpha + 4 < 0$, যা বাস্তব $\alpha$-এর জন্য সম্ভব নয়।
সুতরাং $\alpha$ অবশ্যই ঋণাত্মক হবে, অর্থাৎ $\alpha \le -2 - 2\sqrt{2}$।
যেহেতু $\alpha < 0$, তাই $x > 0$ হলে সর্বদা $x > \alpha$ হবে।

অতএব, $\alpha$-এর সম্ভাব্য মান: $\alpha \le -2(1 + \sqrt{2})$
এবং $x$-এর সম্ভাব্য মান: $x = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 4}}{2}$ (যেখানে $\alpha \le -2 - 2\sqrt{2}$)।