গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, উপবৃত্তটির প্রধান অক্ষ $x$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর কেন্দ্র $(h, k)$।
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র দুটি $S_1(3, -1)$ এবং $S_2(1, -1)$।

উপবৃত্তের কেন্দ্র $C(h, k) = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{-1-1}{2} \right) = (2, -1)$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব,
$2ae = \sqrt{(3-1)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 0} = 2$
$\implies ae = 1$

আমরা জানি, যেকোনো উপকেন্দ্র হতে শীর্ষদ্বয়ের দূরত্বের গুণফল:
$(a - ae)(a + ae) = a^2 - a^2e^2 = b^2$

প্রশ্নমতে,
$b^2 = 4$
$\implies a^2 - 1^2 = 4$
$\implies a^2 = 5$

যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয়ের $y$-স্থানাঙ্ক একই ($-1$), সুতরাং উপবৃত্তটির প্রধান অক্ষ $x$-অক্ষের সমান্তরাল।
অতএব, উপবৃত্তটির সমীকরণ হবে:
$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$
$\implies \frac{(x - 2)^2}{5} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$
বা, $4(x - 2)^2 + 5(y + 1)^2 = 20$
বা, $4(x^2 - 4x + 4) + 5(y^2 + 2y + 1) = 20$
বা, $4x^2 + 5y^2 - 16x + 10y + 1 = 0$ (Ans.)