গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
$r^2 - 4r\cos\theta - 4\sqrt{3}r\sin\theta + 7 = 0$

আমরা জানি, কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$।
অতএব সমীকরণটিকে কার্তেসীয় আকারে লিখলে পাই,
$x^2 + y^2 - 4x - 4\sqrt{3}y + 7 = 0$

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$2g = -4 \implies g = -2$
$2f = -4\sqrt{3} \implies f = -2\sqrt{3}$
$c = 7$

অতএব বৃত্তটির কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক:
$(h, k) = (-g, -f) = (2, 2\sqrt{3})$

বৃত্তের ব্যাসার্ধ:
$R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2 - 7} = \sqrt{4 + 12 - 7} = \sqrt{9} = 3 \text{ একক}$

কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক $(r_0, \theta_0)$ নির্ণয়:
$r_0 = \sqrt{h^2 + k^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$
$\theta_0 = \tan^{-1}\left(\frac{k}{h}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \text{ বা } 60^\circ$

অতএব:

• বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $3$ একক
• কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক = $\left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ বা $(4, 60^\circ)$