গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\bar{b} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$

ধরি, $\bar{a}$ ও $\bar{b}$ ভেক্টরদ্বয়ের সমতলে অবস্থিত ভেক্টরটি $\bar{r}$।
তাহলে, $\bar{r} = \bar{b} + m\bar{a}$ (যেখানে $m$ একটি স্কেলার)
$\Rightarrow \bar{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + m(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
$\Rightarrow \bar{r} = (1+m)\hat{i} + (m-1)\hat{j} + (m-1)\hat{k}$

যেহেতু $\bar{r}$ ভেক্টরটি $\bar{a}$ এর ওপর লম্ব, সেহেতু:
$\bar{r} \cdot \bar{a} = 0$
$\Rightarrow (1+m)(1) + (m-1)(1) + (m-1)(1) = 0$
$\Rightarrow 1 + m + m - 1 + m - 1 = 0$
$\Rightarrow 3m - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{3}$

সুতরাং,
$\bar{r} = \left(1 + \frac{1}{3}\right)\hat{i} + \left(\frac{1}{3} - 1\right)\hat{j} + \left(\frac{1}{3} - 1\right)\hat{k}$
$\Rightarrow \bar{r} = \frac{4}{3}\hat{i} - \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{2}{3}(2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$

এখন, $\bar{r}$ এর দিকে একক ভেক্টর $\hat{u}$ হবে:
$\hat{u} = \pm \frac{\bar{r}}{|\bar{r}|} = \pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$

অতএব, নির্ণেয় একক ভেক্টর $\pm \frac{1}{\sqrt{6}}(2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$।