গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
$x^2 + y^2 - 10x = 0$
$\implies (x - 5)^2 + y^2 = 5^2$
সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্র $(5, 0)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 5$ একক।

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
$3x + 4y - k = 0$

রেখাটি বৃত্তটিকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র $(5, 0)$ থেকে রেখাটির লম্বদূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয়।
অতএব,
$\frac{|3(5) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5$
$\implies \frac{|15 - k|}{\sqrt{9 + 16}} = 5$
$\implies \frac{|15 - k|}{5} = 5$
$\implies |15 - k| = 25$
$\implies 15 - k = \pm 25$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,
$15 - k = 25 \implies k = 15 - 25 = -10$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,
$15 - k = -25 \implies k = 15 + 25 = 40$

অতএব, $k$ এর নির্ণেয় মান $-10$ বা $40$।