গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত অবস্থান ভেক্টর,
$\vec{r} = 12\sqrt{t}\,\hat{i} + \frac{3}{t^2}\,\hat{j}$

বেগ ভেক্টর,
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{12}{2\sqrt{t}}\,\hat{i} - \frac{6}{t^3}\,\hat{j} = \frac{6}{\sqrt{t}}\,\hat{i} - \frac{6}{t^3}\,\hat{j}$

বস্তুটির দ্রুতি বা গতির মান,
$v = |\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{t}}\right)^2 + \left(-\frac{6}{t^3}\right)^2} = \sqrt{\frac{36}{t} + \frac{36}{t^6}} = 6\sqrt{t^{-1} + t^{-6}}$

যেহেতু $t > 0$, তাই $f(t) = t^{-1} + t^{-6}$ একটি ক্রমহ্রাসমান (strictly decreasing) ফাংশন, কারণ:
$f'(t) = -t^{-2} - 6t^{-7} = -\left(\frac{1}{t^2} + \frac{6}{t^7}\right) < 0$

সুতরাং কোনো সসীম বাস্তব মানে এর কোনো স্থানীয় চরম মান (local minimum) নেই। $t \to \infty$ হলে বস্তুর সর্বনিম্ন গতি $v \to 0$ হয়।

(বিকল্পভাবে, যদি প্রশ্নটিতে $\vec{r} = 12t\hat{i} + \frac{3}{t^2}\hat{j}$ বুঝানো হয়ে থাকে:
$\vec{v} = 12\hat{i} - \frac{6}{t^3}\hat{j}$
$v^2 = 144 + \frac{36}{t^6}$
সেক্ষেত্রেও $t \to \infty$ হলে সর্বনিম্ন বেগ $12$ একক)।

প্রদত্ত সমীকরণানুযায়ী:

• সর্বনিম্ন গতি: $0$ একক (যখন $t \to \infty$)
• অবস্থান: অসীমে।