গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ধারা,
$S = \frac{1}{3} + \frac{1\cdot 3}{3\cdot 6} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 6\cdot 9} + \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 6\cdot 9\cdot 12} + \cdots \infty$

দ্বিপদী বিস্তৃতি $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \cdots$ এর সাথে $1 + S$ তুলনা করে পাই:
$nx = \frac{1}{3} \quad \dots (1)$
এবং $\frac{n(n+1)}{2!}x^2 = \frac{1\cdot 3}{3\cdot 6} = \frac{1}{6} \quad \dots (2)$

সমীকরণ (2)-কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{n(n+1)x^2}{2nx} = \frac{1/6}{1/3}$
$\implies \frac{(n+1)x}{2} = \frac{1}{2}$
$\implies nx + x = 1$
$\implies \frac{1}{3} + x = 1$
$\implies x = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

সমীকরণ (1) হতে পাই:
$n\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3} \implies n = \frac{1}{2}$

সুতরাং,
$1 + S = (1 - x)^{-n} = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$
$\implies S = \sqrt{3} - 1$

উত্তর: $\sqrt{3} - 1$