উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-২ এ উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{3}$ (টেক্সটের '3 \sqrt{3}' হলো OCR জনিত পুনরাবৃত্তি)। | উচ্চতর গণিতে সৃজনশীল প্রশ্নে তিনটি অংশ (ক, খ, গ) বিদ্যমান থাকে; প্রশ্নটিতে 'ঘ' অংশটি ভুলবশত সংযুক্ত হয়েছে।

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - 3)^2 = 4(y + 2)$

   বা, $X^2 = 4AY$; যেখানে $X = x - 3$, $Y = y + 2$ এবং $4A = 4 \implies A = 1$।

   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
   $X = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$
   $Y = A \implies y + 2 = 1 \implies y = -1$

   অতএব, নির্ণেয় উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(3, -1)$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-২ এ উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{3}$ (টেক্সটের '3 \sqrt{3}' হলো OCR জনিত পুনরাবৃত্তি)। | উচ্চতর গণিতে সৃজনশীল প্রশ্নে তিনটি অংশ (ক, খ, গ) বিদ্যমান থাকে; প্রশ্নটিতে 'ঘ' অংশটি ভুলবশত সংযুক্ত হয়েছে।

   দৃশ্যকল্প-১ হতে কণিকটির সমীকরণ:
   $4x^2 + ay^2 = 1$

   যেহেতু কণিকটি $(0, \pm 1)$ বিন্দুগামী, সুতরাং:
   $4(0)^2 + a(\pm 1)^2 = 1$
   $\implies a = 1$

   সুতরাং সমীকরণটি দাঁড়ায়:
   $4x^2 + y^2 = 1 \implies \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1$

   এটি একটি উপবৃত্ত, যার সমীকরণ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ আকারের, যেখানে $a = 1$ এবং $b = \frac{1}{2}$।
   যেহেতু $a > b$, অর্থাৎ উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   অতএব:
   বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2a = 2 \times 1 = 2$ একক
   ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2b = 2 \times \frac{1}{2} = 1$ একক

   নির্ণেয় অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $2$ একক এবং $1$ একক।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-২ এ উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{3}$ (টেক্সটের '3 \sqrt{3}' হলো OCR জনিত পুনরাবৃত্তি)। | উচ্চতর গণিতে সৃজনশীল প্রশ্নে তিনটি অংশ (ক, খ, গ) বিদ্যমান থাকে; প্রশ্নটিতে 'ঘ' অংশটি ভুলবশত সংযুক্ত হয়েছে।

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,
   কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{3} > 1$। সুতরাং কণিকটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)।
   নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 4$

   যেহেতু কণিকের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় বরাবর, তাই দুটি ক্ষেত্র বিবেচনা করা যায়:

   ১ম ক্ষেত্র (অনুপ্রস্থ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর):
   অধিবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
   নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= \frac{2a}{e} = 4$
   $\implies \frac{2a}{\sqrt{3}} = 4 \implies a = 2\sqrt{3} \implies a^2 = 12$
   আমরা জানি, $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 12(3 - 1) = 24$
   সুতরাং সমীকরণটি:
   $\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{24} = 1 \implies 2x^2 - y^2 = 24$

   ২য় ক্ষেত্র (অনুপ্রস্থ অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর):
   অধিবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$
   নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= \frac{2b}{e} = 4$
   $\implies \frac{2b}{\sqrt{3}} = 4 \implies b = 2\sqrt{3} \implies b^2 = 12$
   আমরা জানি, $a^2 = b^2(e^2 - 1) = 12(3 - 1) = 24$
   সুতরাং সমীকরণটি:
   $\frac{y^2}{12} - \frac{x^2}{24} = 1 \implies 2y^2 - x^2 = 24$

   অতএব, নির্ণেয় কণিকের সমীকরণ $2x^2 - y^2 = 24$ অথবা $2y^2 - x^2 = 24$।