গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$A = \left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1+z\end{array}\right| = 0$

যেহেতু $x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0$, প্রথম সারি থেকে $x$, দ্বিতীয় সারি থেকে $y$ এবং তৃতীয় সারি থেকে $z$ কমন নিয়ে পাই:
$A = xyz \left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}+1 & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right| = 0$

$R_1' \to R_1 + R_2 + R_3$ করে পাই:
$xyz \left|\begin{array}{ccc} 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right| = 0$

প্রথম সারি থেকে $\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ কমন নিয়ে:
$xyz \left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{y} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{y} \\ \frac{1}{z} & \frac{1}{z} & \frac{1}{z}+1\end{array}\right| = 0$

$C_2' \to C_2 - C_1$ এবং $C_3' \to C_3 - C_1$ করে পাই:
$xyz \left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{y} & 1 & 0 \\ \frac{1}{z} & 0 & 1\end{array}\right| = 0$

নির্ণায়কের মান বিস্তার করে:
$xyz \left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) (1 \cdot 1 - 0) = 0$
$xyz \left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) = 0$

যেহেতু $x, y, z \neq 0$, তাই $xyz \neq 0$।
অতএব,
$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$
$\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = -1$

উত্তর: $-1$