[0,2π] [0,2 \pi] ব্যবধিতে sin⁡x \sin x ও cos⁡x \cos x এর অন্তর্গত ক্ষেত্রফল কত?

Question

Accepted Answer

ক. 42 4 \sqrt{2}

ব্যাখ্যা: $[0, 2\pi]$ ব্যবধিতে $y = \sin x$ এবং $y = \cos x$ বক্ররেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী মোট ক্ষেত্রফল হলো:
$$A = \int_0^{2\pi} |\sin x - \cos x| \, dx$$
ছেদবিন্দুসমূহ হলো $x = \frac{\pi}{4}$ এবং $x = \frac{5\pi}{4}$।
১) $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ অংশে: $\int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx = [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$
২) $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ অংশে: $\int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) \, dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4} = 2\sqrt{2}$
৩) $\left[\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right]$ অংশে: $\int_{5\pi/4}^{2\pi} (\cos x - \sin x) \, dx = [\sin x + \cos x]_{5\pi/4}^{2\pi} = 1 + \sqrt{2}$
সুতরাং, মোট ক্ষেত্রফল $= (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (1 + \sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$ বর্গ একক।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন