গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রশ্নটিতে 'AB বা AC লম্বরেখার সমীকরণ' বলতে তাদের সাধারণ ছেদবিন্দু A বিন্দুগামী লম্বরেখা বোঝানো হয়েছে।

১. $AB$ ও $AC$ রেখার ছেদবিন্দু $A$ নির্ণয়:
$3x + 2y - 12 = 0 \quad \dots (1)$
$2x - y - 12 = 0 \quad \dots (2)$
(1) + 2 × (2) করে পাই:
$3x + 4x - 12 - 24 = 0 \implies 7x = 36 \implies x = \frac{36}{7}$
(2) হতে, $y = 2x - 12 = 2\left(\frac{36}{7}\right) - 12 = -\frac{12}{7}$
অতএব, $A\left(\frac{36}{7}, -\frac{12}{7}\right)$।

২. $AB$ রেখার ওপর লম্ব এবং $A$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
$3x + 2y - 12 = 0$ এর ওপর লম্বরেখার সমীকরণ $2x - 3y + k = 0$
যেহেতু এটি $A\left(\frac{36}{7}, -\frac{12}{7}\right)$ বিন্দুগামী:
$2\left(\frac{36}{7}\right) - 3\left(-\frac{12}{7}\right) + k = 0 \implies \frac{72 + 36}{7} + k = 0 \implies k = -\frac{108}{7}$
নির্ণেয় সমীকরণ: $2x - 3y - \frac{108}{7} = 0$ বা $14x - 21y - 108 = 0$।

৩. $AC$ রেখার ওপর লম্ব এবং $A$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
$2x - y - 12 = 0$ এর ওপর লম্বরেখার সমীকরণ $x + 2y + c = 0$
যেহেতু এটি $A\left(\frac{36}{7}, -\frac{12}{7}\right)$ বিন্দুগামী:
$\frac{36}{7} + 2\left(-\frac{12}{7}\right) + c = 0 \implies \frac{12}{7} + c = 0 \implies c = -\frac{12}{7}$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x + 2y - \frac{12}{7} = 0$ বা $7x + 14y - 12 = 0$।