পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর $(\vec{\nabla})$ এর সাথে কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডট গুণফলকে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স বলা হয়। এটি কোনো বিন্দুতে ফ্লাক্সের ঘনত্ব নির্দেশ করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, তিনটি একক ভেক্টর যোগ করে একটি একক ভেক্টর পাওয়া সম্ভব।
   উদাহরণস্বরূপ: ধরি দুটি একক ভেক্টর $\hat{i}$ এবং $-\hat{i}$ বিপরীতমুখী হওয়ায় এদের যোগফল $\hat{i} + (-\hat{i}) = 0$। এখন তৃতীয় একক ভেক্টরটি যদি $\hat{j}$ হয়, তবে তিনটির লব্ধি বা যোগফল হবে: $\hat{i} + (-\hat{i}) + \hat{j} = \hat{j}$, যার মান $|\hat{j}| = 1$। অতএব, তিনটি একক ভেক্টরের যোগফল একটি একক ভেক্টর হতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P(x,y,z) = 2xy^4 - x^2z$

   আমরা জানি, স্কেলার ক্ষেত্র $P$-এর গ্রেডিয়েন্ট,
   $\text{grad } P = \vec{\nabla} P = \left(\hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)(2xy^4 - x^2z)$
   $\Rightarrow \vec{\nabla} P = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x}(2xy^4 - x^2z) + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y}(2xy^4 - x^2z) + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}(2xy^4 - x^2z)$
   $\Rightarrow \vec{\nabla} P = (2y^4 - 2xz)\hat{i} + (8xy^3)\hat{j} + (-x^2)\hat{k}$

   $(2, -1, -2)$ বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট:
   $\vec{\nabla} P = [2(-1)^4 - 2(2)(-2)]\hat{i} + [8(2)(-1)^3]\hat{j} + [-(2)^2]\hat{k}$
   $= [2(1) + 8]\hat{i} + (-16)\hat{j} - 4\hat{k}$
   $= 10\hat{i} - 16\hat{j} - 4\hat{k}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সলিনয়ডাল হওয়ার শর্ত হলো ভেক্টরের ডাইভারজেন্স শূন্য $(\vec{\nabla}\cdot\vec{V} = 0)$ হতে হবে এবং অঘূর্ণনশীল হওয়ার শর্ত হলো কার্ল শূন্য $(\vec{\nabla}\times\vec{V} = \vec{0})$ হতে হবে।

   ১. ভেক্টর $\vec{A}$-এর ক্ষেত্রে:
   $\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + y) + \frac{\partial}{\partial y}(3y + z^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-5z + x)$
   $= 2 + 3 - 5 = 0$
   যেহেতু $\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0$, তাই $\vec{A}$ ভেক্টরটি সলিনয়ডাল।

   ২. ভেক্টর $\vec{B}$-এর ক্ষেত্রে:
   $\vec{\nabla} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy+z^3 & 3x^2+z & 3xz^2-y \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}\left[\frac{\partial}{\partial y}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(3x^2 + z)\right] - \hat{j}\left[\frac{\partial}{\partial x}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(6xy + z^3)\right] + \hat{k}\left[\frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + z) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy + z^3)\right]$
   $= \hat{i}[-1 - 1] - \hat{j}[3z^2 - 3z^2] + \hat{k}[6x - 6x]$
   $= -2\hat{i} \neq \vec{0}$
   যেহেতু কার্ল অশূন্য, তাই $\vec{B}$ অঘূর্ণনশীল নয়।

   আবার $\vec{B}$-এর ডাইভারজেন্স:
   $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy + z^3) + \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + z) + \frac{\partial}{\partial z}(3xz^2 - y) = 6y + 0 + 6xz = 6y + 6xz \neq 0$, তাই এটি সলিনয়ডালও নয়।

   অপরদিকে $\vec{A}$-এর কার্ল:
   $\vec{\nabla} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2x+y & 3y+z^2 & -5z+x \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 2z) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(0 - 1) = -2z\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \neq \vec{0}$।

   অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় উদ্দীপকের ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যে কেবল $\vec{A}$ ভেক্টরটি সলিনয়ডাল এবং এদের কোনটিই অঘূর্ণনশীল নয়।