গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = a$ ..... (১)

ধরি, বক্ররেখাটির উপর যেকোনো একটি বিন্দু $P(x_1, y_1)$।
যেহেতু বিন্দুটি বক্ররেখার ওপর অবস্থিত, তাই—
$\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = a$ ..... (২)

(১) নং সমীকরণকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

অতএব, $P(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}$

$P(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
$y - y_1 = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(x - x_1)$
$\implies \sqrt{x_1}y - y_1\sqrt{x_1} = -x\sqrt{y_1} + x_1\sqrt{y_1}$
$\implies x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = x_1\sqrt{y_1} + y_1\sqrt{x_1}$
$\implies x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = \sqrt{x_1}\sqrt{y_1}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$

(২) নং হতে মান বসিয়ে,
$x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = a\sqrt{x_1}\sqrt{y_1}$

উভয়পক্ষকে $a\sqrt{x_1}\sqrt{y_1}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{x}{a\sqrt{x_1}} + \frac{y}{a\sqrt{y_1}} = 1$

সুতরাং, স্পর্শকটি দ্বারা $x$-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশ $= a\sqrt{x_1}$ এবং $y$-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশ $= a\sqrt{y_1}$।

অতএব, অক্ষদ্বয় থেকে কর্তিত অংশদ্বয়ের যোগফল:
$= a\sqrt{x_1} + a\sqrt{y_1}$
$= a(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1})$
$= a \cdot a = a^2$, যা একটি ধ্রুবক।

(দেখানো হলো)