গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের পোলার সমীকরণ:
$r^2 - 4r\cos\theta - 4\sqrt{3}r\sin\theta + 7 = 0$

আমরা জানি, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$।
সমীকরণটিকে কার্তেসীয় আকারে রূপান্তর করে পাই:
$x^2 + y^2 - 4x - 4\sqrt{3}y + 7 = 0$

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
$2g = -4 \Rightarrow g = -2$
$2f = -4\sqrt{3} \Rightarrow f = -2\sqrt{3}$
$c = 7$

অতএব, কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(-g, -f) = (2, 2\sqrt{3})$

কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক $(r_0, \theta_0)$ হলে:
$r_0 = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$
$\theta_0 = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \text{ বা } 60^\circ$

সুতরাং, কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক: $\left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ বা $(4, 60^\circ)$

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $a = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2 - 7} = \sqrt{4 + 12 - 7} = \sqrt{9} = 3$

উত্তর: ব্যাসার্ধ $3$ একক এবং কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক $\left(4, \frac{\pi}{3}\right)$।