গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় বরাবর অবস্থিত হওয়ায় এর প্রমিত সমীকরণ:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

প্রদত্ত প্রথম সরলরেখা: $\frac{x}{9} + \frac{y}{4} = 1$
রেখাটির $x$-অক্ষের ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য $y = 0$ বসিয়ে পাই, $x = 9$। অর্থাৎ ছেদবিন্দুটি $(9, 0)$।
যেহেতু উপবৃত্তটি $x$-অক্ষের উপর এই রেখাকে ছেদ করে, তাই উপবৃত্তটি $(9, 0)$ বিন্দুগামী।
$\therefore \frac{9^2}{a^2} + \frac{0}{b^2} = 1 \implies a^2 = 81 \implies a = 9$

প্রদত্ত দ্বিতীয় সরলরেখা: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$
রেখাটির $y$-অক্ষের ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য $x = 0$ বসিয়ে পাই, $y = 3$। অর্থাৎ ছেদবিন্দুটি $(0, 3)$।
যেহেতু উপবৃত্তটি $y$-অক্ষের উপর এই রেখাকে ছেদ করে, তাই উপবৃত্তটি $(0, 3)$ বিন্দুগামী।
$\therefore \frac{0}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1 \implies b^2 = 9 \implies b = 3$

উপবৃত্তটির সমীকরণ:
$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{9} = 1 \quad \text{বা,} \quad x^2 + 9y^2 = 81$

যেহেতু $a > b$,
উৎকেন্দ্রিকতা ($e$):
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{81}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

উপকেন্দ্র দুটির স্থানাঙ্ক:
$(\pm ae, 0) = \left(\pm 9 \times \frac{2\sqrt{2}}{3}, 0\right) = (\pm 6\sqrt{2}, 0)$