গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২৪-২০২৫

গণিত প্রশ্ন

4.

f′(x)=tan⁡−1(sec⁡x+tan⁡x) f'(x) = \tan^{-1}(\sec x + \tan x) হলে এবং f(0)=0 f(0) = 0 হলে, f(1) f(1) এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
f′(x)=tan⁡−1(sec⁡x+tan⁡x)f'(x) = \tan^{-1}(\sec x + \tan x)

এখানে,
sec⁡x+tan⁡x=1+sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x2+sin⁡x2)2cos⁡2x2−sin⁡2x2=cos⁡x2+sin⁡x2cos⁡x2−sin⁡x2=1+tan⁡x21−tan⁡x2=tan⁡(π4+x2)\sec x + \tan x = \frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{\left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)^2}{\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}} = \frac{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}} = \frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}} = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)

সুতরাং,
f′(x)=tan⁡−1(tan⁡(π4+x2))=π4+x2f'(x) = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}

এখন সমাকলন করে পাই,
f(x)=∫(π4+x2)dx=π4x+x24+cf(x) = \int \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + c

যেহেতু f(0)=0f(0) = 0,
0=0+0+c  ⟹  c=00 = 0 + 0 + c \implies c = 0
∴f(x)=πx4+x24\therefore f(x) = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4}

অতএব,
f(1)=π4+14=π+14f(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\pi + 1}{4}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন