গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, প্রথম জাহাজের শুরুর স্থানকে মূলবিন্দু $(0,0)$ বিবেচনা করি।
প্রথম জাহাজটি উত্তর দিক বরাবর $15\text{ km/hr}$ বেগে চলে।
সুতরাং, $t$ ঘণ্টা পর প্রথম জাহাজের অবস্থান, $A = (0, 15t)$।

দ্বিতীয় জাহাজটির আদি অবস্থান প্রথম জাহাজ হতে $10\text{ km}$ পূর্বে, অর্থাৎ $(10, 0)$।
দ্বিতীয় জাহাজটি পশ্চিম দিক বরাবর $20\text{ km/hr}$ বেগে চলে।
সুতরাং, $t$ ঘণ্টা পর দ্বিতীয় জাহাজের অবস্থান, $B = (10 - 20t, 0)$।

$t$ সময় পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব $s$ হলে,
$s^2 = (10 - 20t)^2 + (15t)^2$
$s^2 = 100 - 400t + 400t^2 + 225t^2$
$s^2 = 625t^2 - 400t + 100$

দূরত্ব $s$ ন্যূনতম হওয়ার শর্তানুসারে, $\frac{d(s^2)}{dt} = 0$
$1250t - 400 = 0$
$t = \frac{400}{1250} = \frac{8}{25}\text{ ঘণ্টা} = 0.32\text{ ঘণ্টা} = 19.2\text{ মিনিট} = 19\text{ মিনিট } 12\text{ সেকেন্ড}$

যেহেতু $\frac{d^2(s^2)}{dt^2} = 1250 > 0$, সুতরাং $t = \frac{8}{25}\text{ ঘণ্টা}$ সময়ে দূরত্ব ন্যূনতম হবে।

ন্যূনতম দূরত্বের মান:
$s_{\min}^2 = 625\left(\frac{8}{25}\right)^2 - 400\left(\frac{8}{25}\right) + 100$
$s_{\min}^2 = 64 - 128 + 100 = 36$
$s_{\min} = \sqrt{36} = 6\text{ km}$

উত্তর: $0.32\text{ ঘণ্টা}$ (বা $19\text{ মিনিট } 12\text{ সেকেন্ড}$) পর তাদের মাঝে দূরত্ব ন্যূনতম হবে এবং ন্যূনতম দূরত্ব $6\text{ km}$।