গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব রেখাটি হলো শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক।
প্রদত্ত স্পর্শকের সমীকরণ:
$x - y + 2 = 0$ ... (i)

যেহেতু পরাবৃত্তের অক্ষ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই অক্ষের সমীকরণ হবে:
$x + y + k = 0$
অক্ষটি ফোকাস $S(1, -1)$ বিন্দুগামী:
$1 + (-1) + k = 0 \implies k = 0$
সুতরাং, অক্ষের সমীকরণ:
$x + y = 0$ ... (ii)

(i) ও (ii) সমাধান করে শীর্ষবিন্দু $A$-এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়:
$x = -1, y = 1$
অতএব, শীর্ষবিন্দু $A(-1, 1)$।

ধরি, অক্ষ ও নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$।
যেহেতু $A$ বিন্দুটি $SZ$-এর মধ্যবিন্দু:
$\frac{1 + \alpha}{2} = -1 \implies \alpha = -3$
$\frac{-1 + \beta}{2} = 1 \implies \beta = 3$
অতএব, নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z(-3, 3)$।

নিয়ামক রেখাটি শীর্ষের স্পর্শকের সমান্তরাল, তাই এর সমীকরণ:
$x - y + c = 0$
যেহেতু এটি $Z(-3, 3)$ বিন্দুগামী:
$-3 - 3 + c = 0 \implies c = 6$
সুতরাং, নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
$x - y + 6 = 0$

এখন, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে সংজ্ঞা অনুযায়ী $SP = PM$:
$\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 1)^2} = \frac{|x - y + 6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$\implies (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{(x - y + 6)^2}{2}$
$\implies 2(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) = x^2 + y^2 + 36 - 2xy + 12x - 12y$
$\implies 2x^2 + 2y^2 - 4x + 4y + 4 = x^2 + y^2 - 2xy + 12x - 12y + 36$
$\implies x^2 + 2xy + y^2 - 16x + 16y - 32 = 0$
বা, $(x + y)^2 - 16(x - y + 2) = 0$