গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রমাণ:

ধরি, $x = \sqrt[3]{1}$
বা, $x^3 = 1$
বা, $x^3 - 1 = 0$
বা, $(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

হয়, $x - 1 = 0 \implies x = 1$ (বাস্তব মূল)
নতুবা, $x^2 + x + 1 = 0$
দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

অতএব, এককের জটিল ঘনমূল দুটি হলো:
$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ এবং $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

এখন, জটিল ঘনমূল দুটির গুণফল:
$= \left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\right)$
$= \frac{(-1)^2 - (i\sqrt{3})^2}{4}$
$= \frac{1 - i^2(3)}{4}$
$= \frac{1 - (-1)(3)}{4} \quad [\because i^2 = -1]$
$= \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

সুতরাং, এককের জটিল ঘনমূল দুটির গুণফল 1। (প্রমাণিত)