গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ধারাটির ৩য় পদের হর সংশোধিত রূপ (3·6·9) বিবেচনা করে,
ধরি, ধারাটির যোগফল S:
S = \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12} + \dots \infty

উভয়পক্ষে 1 যোগ করে পাই,
1 + S = 1 + \frac{1}{1!} \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \dots \infty

আমরা জানি,
(1 - x)^{-n} = 1 + n x + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!} x^3 + \dots

উভয় ধারা তুলনা করে পাই,
nx = \frac{1}{3} ...... (i)
\frac{n(n+1)}{2!} x^2 = \frac{1 \cdot 3}{2!} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{6} ...... (ii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে,
\frac{nx(nx + x)}{2} = \frac{1}{6}
\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} + x\right)}{2} = \frac{1}{6}
\Rightarrow \frac{1}{3} + x = 1
\Rightarrow x = \frac{2}{3}

(i) থেকে,
n = \frac{1}{3x} = \frac{1}{3 \cdot (2/3)} = \frac{1}{2}

যেহেতু |x| = 2/3 < 1, তাই দ্বিপদী ধারাটি অভিসারী।
\therefore 1 + S = (1 - x)^{-n} = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}
\Rightarrow S = \sqrt{3} - 1

নির্ণেয় যোগফল: \sqrt{3} - 1।