উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $2x^2 + 2y^2 + 4x + 6y + 1 = 0$
   বা, $x^2 + y^2 + 2x + 3y + \frac{1}{2} = 0$

   বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $2g = 2 \implies g = 1$
   $2f = 3 \implies f = \frac{3}{2}$
   $c = \frac{1}{2}$

   আমরা জানি, $y$-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য $= 2\sqrt{f^2 - c}$
   $= 2\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}}$
   $= 2\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

   অতএব, $y$-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য $\sqrt{7}$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \quad \text{--- (i)}$

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী বৃত্তটি $x$-অক্ষকে স্পর্শ করে। সুতরাং,
   $g^2 = c \quad \text{--- (ii)}$

   বৃত্তটি $A(1, 2)$ এবং $B(3, 2)$ বিন্দুগামী।
   বিন্দু দুটি (i) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $1^2 + 2^2 + 2g(1) + 2f(2) + c = 0$
   $\implies 2g + 4f + c + 5 = 0 \quad \text{--- (iii)}$

   এবং
   $3^2 + 2^2 + 2g(3) + 2f(2) + c = 0$
   $\implies 6g + 4f + c + 13 = 0 \quad \text{--- (iv)}$

   সমীকরণ (iv) থেকে (iii) বিয়োগ করে পাই,
   $(6g - 2g) + (13 - 5) = 0$
   $\implies 4g + 8 = 0 \implies g = -2$

   $g = -2$ সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,
   $c = (-2)^2 = 4$

   এখন, $g = -2$ ও $c = 4$ সমীকরণ (iii)-তে বসিয়ে পাই,
   $2(-2) + 4f + 4 + 5 = 0$
   $\implies -4 + 4f + 9 = 0$
   $\implies 4f + 5 = 0 \implies f = -\frac{5}{4}$

   $g, f$ ও $c$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে বৃত্তের সমীকরণ পাই,
   $x^2 + y^2 + 2(-2)x + 2\left(-\frac{5}{4}\right)y + 4 = 0$
   $\implies x^2 + y^2 - 4x - \frac{5}{2}y + 4 = 0$
   $\implies 2x^2 + 2y^2 - 8x - 5y + 8 = 0$

   নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $2x^2 + 2y^2 - 8x - 5y + 8 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'খ' থেকে প্রাপ্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 4x - \frac{5}{2}y + 4 = 0$
   এখানে কেন্দ্র, $C = (-g, -f) = \left(2, \frac{5}{4}\right)$
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 4} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$

   চিত্রানুসারে, বৃত্তটি $x$-অক্ষকে স্পর্শ করে, যার সমীকরণ $y = 0$ এবং এটি মূলবিন্দুগামী একটি স্পর্শক।
   মূলবিন্দু $(0, 0)$ দিয়ে যায় এরূপ অপর স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y = mx \implies mx - y = 0 \quad \text{--- (i)}$

   যেহেতু (i) নং রেখাটি বৃত্তটির স্পর্শক, তাই কেন্দ্র $\left(2, \frac{5}{4}\right)$ থেকে এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
   $\therefore \frac{\left|m(2) - \frac{5}{4}\right|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{4}$
   $\implies \frac{\left|2m - \frac{5}{4}\right|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{5}{4}$
   $\implies \frac{\left|8m - 5\right|}{4\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{5}{4}$
   $\implies |8m - 5| = 5\sqrt{m^2 + 1}$

   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $(8m - 5)^2 = 25(m^2 + 1)$
   $\implies 64m^2 - 80m + 25 = 25m^2 + 25$
   $\implies 39m^2 - 80m = 0$
   $\implies m(39m - 80) = 0$
   $\therefore m = 0 \quad \text{অথবা} \quad m = \frac{80}{39}$

   এখানে $m = 0$ স্পর্শকটি হলো $x$-অক্ষ ($y = 0$)।
   অতএব, মূলবিন্দু থেকে অপর স্পর্শকের জন্য $m = \frac{80}{39}$।

   $m$-এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
   $\frac{80}{39}x - y = 0$
   $\implies 80x - 39y = 0$

   নির্ণেয় অপর স্পর্শকের সমীকরণ: $80x - 39y = 0$।