গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $y = x^{\sin^{-1}x}$ এবং $z = \sin^{-1}x$। আমাদের $\frac{dy}{dz}$ নির্ণয় করতে হবে।

প্রথম ফাংশনটির ক্ষেত্রে:
$y = x^{\sin^{-1}x}$
উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম (ln) নিয়ে পাই,
$\ln y = \sin^{-1}x \ln x$

উভয়পক্ষকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x \ln x)$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin^{-1}x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\sin^{-1}x}{x} + \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = x^{\sin^{-1}x} \left( \frac{\sin^{-1}x}{x} + \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)$

দ্বিতীয় ফাংশনটির ক্ষেত্রে:
$z = \sin^{-1}x$
$\Rightarrow \frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

অতএব, $z$ এর সাপেক্ষে $y$ এর অন্তরজ:
$\frac{dy}{dz} = \frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{dz}{dx}}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dz} = \frac{x^{\sin^{-1}x} \left( \frac{\sin^{-1}x}{x} + \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dz} = x^{\sin^{-1}x} \left( \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \sin^{-1}x + \ln x \right)$

উত্তর: $x^{\sin^{-1}x} \left( \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \sin^{-1}x + \ln x \right)$