গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, $y = (1-x)^2$, $y = 0$, $x = 0$ এবং বিভাজন রেখা $x = b$ ($0 \le b \le 1$)।

$R_1$ অংশের ক্ষেত্রফল ($0 \le x \le b$):
$R_1 = \int_0^b (1-x)^2 \, dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^b = \frac{1}{3} - \frac{(1-b)^3}{3}$

$R_2$ অংশের ক্ষেত্রফল ($b \le x \le 1$):
$R_2 = \int_b^1 (1-x)^2 \, dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = 0 - \left(-\frac{(1-b)^3}{3}\right) = \frac{(1-b)^3}{3}$

শর্তানুসারে,
$R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$
$\implies \frac{1}{3} - \frac{(1-b)^3}{3} - \frac{(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$\implies \frac{1}{3} - \frac{2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$\implies \frac{2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$
$\implies (1-b)^3 = \frac{1}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{8}$
$\implies 1-b = \frac{1}{2}$
$\implies b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

উত্তর: $b = \frac{1}{2}$