গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $ax^2 + bx + c = 0$ এবং $cx^2 + bx + a = 0$ সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি $\alpha$।

তাহলে,
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ ... (১)
$c\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ ... (২)

বজ্রগুণন পদ্ধতি ব্যবহার করে পাই:
$\frac{\alpha^2}{ab - bc} = \frac{\alpha}{c^2 - a^2} = \frac{1}{ab - bc}$

প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে,
$\alpha^2 = \frac{b(a - c)}{b(a - c)} = 1$
$\therefore \alpha = \pm 1$

দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে,
$\alpha = \frac{c^2 - a^2}{ab - bc} = \frac{(c - a)(c + a)}{-b(c - a)} = -\frac{c + a}{b}$

এখন, $\alpha$-এর মান বসিয়ে পাই:
$-\frac{c + a}{b} = \pm 1$
$\implies c + a = \mp b$
$\therefore c + a = \pm b$ (প্রমাণিত)