গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখা: $y = 2 - |x - 2|$
এবং $x$-অক্ষের সমীকরণ: $y = 0$

$x$-অক্ষকে ছেদ করার বিন্দুগুলোর জন্য $y = 0$ বসিয়ে পাই:
$2 - |x - 2| = 0 \Rightarrow |x - 2| = 2$
$\Rightarrow x - 2 = \pm 2 \Rightarrow x = 0, 4$

সুতরাং আবদ্ধ ক্ষেত্রটি একটি ত্রিভুজ যার শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো $(0,0)$, $(4,0)$ এবং $(2,2)$।
ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য $= 4 - 0 = 4$ একক এবং উচ্চতা $= 2$ একক।
অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল, $A = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ বর্গ একক।

যেহেতু $y = k$ ($0 < k < 2$) সরলরেখাটি এই ক্ষেত্রটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে, তাই $y = k$ রেখার উপরে অবস্থিত ক্ষুদ্রতর ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে মোট ক্ষেত্রফলের অর্ধেক, অর্থাৎ:
$A_{\text{upper}} = \frac{4}{2} = 2$

উক্ত উপরিভাগের ত্রিভুজটির উচ্চতা $= 2 - k$।
রেখা দুটি $y = 2 - (x - 2) = 4 - x$ এবং $y = 2 - (2 - x) = x$।
$y = k$ এর সাথে ছেদবিন্দু হলো $x = k$ এবং $x = 4 - k$।
সুতরাং ক্ষুদ্রতর ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য $= (4 - k) - k = 4 - 2k = 2(2 - k)$ একক।

অতএব, উপরিভাগের ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল:
$A_{\text{upper}} = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 2(2 - k) \times (2 - k) = (2 - k)^2$

শর্তানুসারে,
$(2 - k)^2 = 2$
$\Rightarrow 2 - k = \sqrt{2} \quad [\because 0 < k < 2]$
$\Rightarrow k = 2 - \sqrt{2}$

উত্তর: $k = 2 - \sqrt{2}$