গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $y = x^2$ বক্ররেখার উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু $P(x, y) = P(x, x^2)$।
প্রদত্ত বিন্দু $A(18, 0)$ হতে $P$-এর দূরত্বের বর্গ $S$ হলে,
$S = (x - 18)^2 + (x^2 - 0)^2$
$S = x^4 + x^2 - 36x + 324$

দূরত্ব সর্বনিম্ন হওয়ার জন্য $\frac{dS}{dx} = 0$ হতে হবে:
$\frac{dS}{dx} = 4x^3 + 2x - 36 = 0$
$\implies 2x^3 + x - 18 = 0$
$\implies 2x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 8x + 9x - 18 = 0$
$\implies 2x^2(x - 2) + 4x(x - 2) + 9(x - 2) = 0$
$\implies (x - 2)(2x^2 + 4x + 9) = 0$

যেহেতু $2x^2 + 4x + 9 = 0$ সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই ($b^2 - 4ac = 16 - 72 < 0$), তাই একমাত্র বাস্তব মান $x = 2$।

এখন, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12x^2 + 2$
$x = 2$ বিন্দুতে, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12(2)^2 + 2 = 50 > 0$, অর্থাৎ $x = 2$ এর জন্য দূরত্ব সর্বনিম্ন হবে।

$x = 2$ হলে,
$y = x^2 = 2^2 = 4$

অতএব, নির্ণেয় বিন্দুটি $(2, 4)$।