গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, মূলবিন্দু $O(0,0)$।
প্রশ্নমতে, $OA = 5$ একক এবং $OB = 12$ একক হওয়ায় বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $A(5, 0)$ এবং $B(0, 12)$।

যেহেতু মূলবিন্দু $O$-এর সাপেক্ষে $P$ বলটির ভ্রামক $0$, সুতরাং বলটির ক্রিয়ারেখা মূলবিন্দু $O(0, 0)$ দিয়ে গমন করে।
ধরি, $P$ বলটির $x$ ও $y$ অক্ষ বরাবর উপাংশ যথাক্রমে $X$ এবং $Y$।
তাহলে বল ভেক্টর, $\vec{P} = X\hat{i} + Y\hat{j}$।

মূলবিন্দুগামী কোনো বলের ক্ষেত্রে $(x, y)$ বিন্দুর সাপেক্ষে বলের ভ্রামক:
$\vec{M} = (\vec{r}_O - \vec{r}) \times \vec{P} = (-x\hat{i} - y\hat{j}) \times (X\hat{i} + Y\hat{j}) = (yX - xY)\hat{k}$

১. $A(5, 0)$ বিন্দুর সাপেক্ষে ভ্রামক $-25$:
$0 \cdot X - 5 \cdot Y = -25$
$\implies -5Y = -25 \implies Y = 5$

২. $B(0, 12)$ বিন্দুর সাপেক্ষে ভ্রামক $144$:
$12 \cdot X - 0 \cdot Y = 144$
$\implies 12X = 144 \implies X = 12$

অতএব, $P$ বলের মান:
$P = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ একক}$

বলের দিক:
$x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে বলটির উৎপন্ন কোণ $\theta$ হলে,
$\tan\theta = \frac{Y}{X} = \frac{5}{12}$
$\implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right) \approx 22.62^\circ$

উত্তর: বলের মান $13$ একক এবং দিক $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$ কোণে।