গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০২০-২০২১

গণিত প্রশ্ন

4.

exe^x এর মূল নিয়মে অন্তরীকরণ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, f(x)=exf(x) = e^x
তাহলে, f(x+h)=ex+hf(x+h) = e^{x+h}

মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
ddxf(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
⇒ddx(ex)=lim⁡h→0ex+h−exh\Rightarrow \frac{d}{dx}(e^x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}
=lim⁡h→0ex⋅eh−exh= \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}
=exlim⁡h→0eh−1h= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}

আমরা জানি, eh=1+h+h22!+h33!+…e^h = 1 + h + \frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \dots
=exlim⁡h→0(1+h+h22!+h33!+… )−1h= e^x \lim_{h \to 0} \frac{\left(1 + h + \frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \dots\right) - 1}{h}
=exlim⁡h→0h(1+h2!+h23!+… )h= e^x \lim_{h \to 0} \frac{h\left(1 + \frac{h}{2!} + \frac{h^2}{3!} + \dots\right)}{h}
=exlim⁡h→0(1+h2!+h23!+… )= e^x \lim_{h \to 0} \left(1 + \frac{h}{2!} + \frac{h^2}{3!} + \dots\right)
=ex(1+0+0+… )= e^x (1 + 0 + 0 + \dots)
=ex= e^x

অতএব, ddx(ex)=ex\frac{d}{dx}(e^x) = e^x।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন