উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \ln x$
   $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

   নির্ণেয় মান: $\frac{1}{x}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $y = a \cos(\ln x) + b \sin(\ln x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = -a \sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$

   $\Rightarrow x y_1 = -a \sin(\ln x) + b \cos(\ln x)$

   উভয়পক্ষকে পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $x y_2 + y_1 \cdot 1 = -a \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$

   $\Rightarrow x y_2 + y_1 = -\frac{1}{x} [a \cos(\ln x) + b \sin(\ln x)]$

   $\Rightarrow x(x y_2 + y_1) = -y$

   $\Rightarrow x^2 y_2 + x y_1 + y = 0$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক (ii) থেকে পাই,
   $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 30$

   $x$ এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$
   $f''(x) = 12x - 6$

   $f(x)$ এর চরম মানের জন্য,
   $f'(x) = 0$
   $\Rightarrow 6x^2 - 6x - 12 = 0$
   $\Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$
   $\Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$
   $\therefore x = 2$ অথবা $x = -1$

   এখন,
   $x = -1$ হলে, $f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 < 0$
   সুতরাং, $x = -1$ এর জন্য $f(x)$ এর গুরুমান পাওয়া যাবে।
   $\therefore$ গুরুমান $= f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 30$
   $= -2 - 3 + 12 + 30 = 37$

   আবার,
   $x = 2$ হলে, $f''(2) = 12(2) - 6 = 18 > 0$
   সুতরাং, $x = 2$ এর জন্য $f(x)$ এর লঘুমান পাওয়া যাবে।
   $\therefore$ লঘুমান $= f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 30$
   $= 16 - 12 - 24 + 30 = 10$

   নির্ণেয় চরম মানগুলো হলো গুরুমান ৩৭ এবং লঘুমান ১০।