গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রদত্ত সমীকরণটিতে ডানপক্ষ \tan^{-1}2 এর স্থলে প্রকৃত গাণিতিক মান \tan^{-1}3 (বাংলা ৩ এর স্থলে ২ মুদ্রণজনিত ভুল হতে পারে)।

বামপক্ষ (LHS):
= \sec^{-1}\sqrt{5} + \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)

এখানে,
(i) \sec^{-1}\sqrt{5} = \tan^{-1}\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1} = \tan^{-1}\sqrt{4} = \tan^{-1}2

(ii) ধরি, \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \theta
\implies \sin 2\theta = \frac{4}{5}
\implies \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{4}{5}
\implies 4 + 4\tan^2\theta = 10\tan\theta
\implies 2\tan^2\theta - 5\tan\theta + 2 = 0
\implies (2\tan\theta - 1)(\tan\theta - 2) = 0
যেহেতু 0 < \theta < \frac{\pi}{4}, তাই \tan\theta = \frac{1}{2}
\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

(iii) \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{10}}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)

অতএব,
LHS = \tan^{-1}2 + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)
= \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) [\because \tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}]
= \cot^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)
= \tan^{-1}3

[বি.দ্র.: প্রদত্ত প্রশ্নে RHS = \tan^{-1}2 রয়েছে, যা গাণিতিকভাবে \tan^{-1}3 এর সমান। ৩ এর স্থলে ২ মুদ্রণজনিত ত্রুটি। RHS = \tan^{-1}3 হলে প্রমাণিত।]