গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, বলটি ছুড়ে মারার অবস্থান থেকে বলটি ধরার সময় অতিবাহিত সময় $t$ সেকেন্ড।

প্রদত্ত তথ্য:
নিক্ষেপণ বেগ, $u = 20 \text{ ms}^{-1}$
নিক্ষেপণ কোণ, $\theta = 30^\circ$
নিক্ষেপণের প্রাথমিক উচ্চতা, $h_1 = 2 \text{ m}$
বলটি ধরার উচ্চতা, $h_2 = 1 \text{ m}$
উলম্ব সরণ, $y = h_2 - h_1 = 1 - 2 = -1 \text{ m}$
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$

বলটির আদিবেগের উলম্ব উপাংশ,
$u_y = u \sin 30^\circ = 20 \times 0.5 = 10 \text{ ms}^{-1}$

আদিবেগের অনুভূমিক উপাংশ,
$u_x = u \cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ ms}^{-1}$

উলম্ব গতির সমীকরণ থেকে পাই,
$y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$
$\Rightarrow -1 = 10t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$\Rightarrow 4.9t^2 - 10t - 1 = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে,
$t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 4.9 \times (-1)}}{2 \times 4.9}$
$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 19.6}}{9.8} = \frac{10 \pm \sqrt{119.6}}{9.8}$

যেহেতু সময় $t > 0$:
$t = \frac{10 + 10.936}{9.8} \approx 2.136 \text{ s}$

অতএব, খেলোয়াড় দু'জনের মধ্যবর্তী অনুভূমিক দূরত্ব:
$d = u_x \times t = (10\sqrt{3} \text{ ms}^{-1}) \times 2.136 \text{ s} \approx 36.96 \text{ m}$

উত্তর: খেলোয়াড় দু'জন প্রায় $36.96 \text{ m}$ দূরত্বে ছিল।