নিম্নের যোগজ এর মান হবেঃ ∫0π2(1+cos⁡x)2sin⁡xdx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left ( 1 + \cos{x} \right )^{2} \sin{x} dx

Question

নিম্নের যোগজ এর মান হবেঃ   ∫0π2(1+cos⁡x)2sin⁡xdx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left ( 1 + \cos{x} \right )^{2} \sin{x} dx

Accepted Answer

খ. 73 \frac{7}{3}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজটি হলো:
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos{x})^2 \sin{x} \, dx$$

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে:
ধরি, $u = 1 + \cos{x}$
তাহলে, $du = -\sin{x} \, dx \implies \sin{x} \, dx = -du$

যোগজের সীমা পরিবর্তন:
- যখন $x = 0$, তখন $u = 1 + \cos{0} = 1 + 1 = 2$
- যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $u = 1 + \cos{\frac{\pi}{2}} = 1 + 0 = 1$

মানগুলো বসিয়ে পাই:
$$I = \int_{2}^{1} u^2 (-du) = \int_{1}^{2} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3 - 1^3}{3} = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$$

অতএব, নির্ণেয় মান হলো $\frac{7}{3}$ (Option 2)।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন