গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$(\sqrt{3} + i)^{99} = 2^{100}(x + iy)$

উভয়পক্ষের পরমমান (মডুলাস) নিয়ে পাই,
$|\sqrt{3} + i|^{99} = |2^{100}(x + iy)|$

আমরা জানি, $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$
অতএব,
$\left(\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}\right)^{99} = 2^{100} \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow (\sqrt{3+1})^{99} = 2^{100} \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow (\sqrt{4})^{99} = 2^{100} \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow 2^{99} = 2^{100} \sqrt{x^2 + y^2}$
$\Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$

উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,
$x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ (প্রমাণিত)।