গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, রশির দৈর্ঘ্য $= l$, ভূমির সাথে রশির কোণ $= \theta$ এবং পুলির উচ্চতা $h = 5\text{ m}$।
চিত্রানুযায়ী,
$\sin\theta = \frac{h}{l} = \frac{5}{l}$
সময় $t$ এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
$\cos\theta \frac{d\theta}{dt} = -\frac{5}{l^2} \frac{dl}{dt}$

দেওয়া আছে, রশি টানার হার $\frac{dl}{dt} = -2\text{ m s}^{-1}$ (যেহেতু দৈর্ঘ্য হ্রাস পাচ্ছে)।
যখন $l = 10\text{ m}$:
$\sin\theta = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^\circ$
তাহলে, $\cos\theta = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

মান বসিয়ে পাই,
$\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{d\theta}{dt} = -\frac{5}{10^2} (-2)$
$\implies \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{d\theta}{dt} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$\implies \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{10} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{5\sqrt{3}}\text{ rad s}^{-1} \approx 0.1155\text{ rad s}^{-1}$

অতএব, রশি ও ভূমির কোণ $\frac{1}{5\sqrt{3}}\text{ rad s}^{-1}$ বা প্রায় $0.1155\text{ rad s}^{-1}$ হারে বৃদ্ধি পাবে।