পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সময়ের পরিবর্তন বা স্থান পরিবর্তনের সাথে সাথে কোনো চলক বা সম্পর্কিত চলকগুচ্ছের মানে যে আপেক্ষিক পরিবর্তন ঘটে, তা পরিমাপের বিশেষায়িত সাংখ্যিক পদ্ধতিকে সূচক সংখ্যা (Index Number) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সূচক সংখ্যা একটি এককবিহীন বা বিশুদ্ধ সংখ্যা। সূচক সংখ্যা নির্ণয়ের সময় দুটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত পরিমাপের অনুপাত নেওয়া হয়। ফলে অনুপাত করার সময়ে ব্যবহৃত এককগুলো (যেমন- টাকা, কেজি ইত্যাদি) পরস্পর বাদ হয়ে যায়। উপরন্তু, সূচক সংখ্যাকে সাধারণত শতকরা হারে প্রকাশ করা হলেও এর সাথে কোনো একক লেখা হয় না। তাই সূচক সংখ্যাকে একটি এককবিহীন বিশুদ্ধ আপেক্ষিক সংখ্যা হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে ২০১৬ সালকে ভিত্তি বছর ($0$) এবং ২০১৭ সালকে চলতি বছর ($1$) বিবেচনা করি।

   প্রদত্ত মানসমূহ:
   ভিত্তি বছরের মূল্য = $p_0$, ভিত্তি বছরের পরিমাণ = $q_0$
   চলতি বছরের মূল্য = $p_1$, চলতি বছরের পরিমাণ = $q_1$

   পণ্যের তথ্যসমূহ ও হিসাব সারণি:
   ১. চাউল: $p_0 = ৫০$, $q_0 = ২৫$, $p_1 = ৫৫$, $q_1 = ৩০$

   • $p_1 q_0 = ৫৫ \times ২৫ = ১৩৭৫$
   • $p_0 q_0 = ৫০ \times ২৫ = ১২৫০$

   ২. ডাল: $p_0 = ৮০$, $q_0 = ৩$, $p_1 = ৯০$, $q_1 = ৪$ (বা ৩৪)

   • $p_1 q_0 = ৯০ \times ৩ = ২৭০$
   • $p_0 q_0 = ৮০ \times ৩ = ২৪০$

   ৩. তেল: $p_0 = ৯০$, $q_0 = ৫$, $p_1 = ১০০$, $q_1 = ৫$

   • $p_1 q_0 = ১০০ \times ৫ = ৫০০$
   • $p_0 q_0 = ৯০ \times ৫ = ৪৫০$

   মোট যোগফল:
   $\sum p_1 q_0 = ১৩৭৫ + ২৭০ + ৫০০ = ২১৪৫$
   $\sum p_0 q_0 = ১২৫০ + ২৪০ + ৪৫০ = ১৯৪০$

   ল্যাসপিয়ার্সের মূল্যসূচক সংখ্যা:
   $P_{01}^L = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \times ১০০$
   $= \frac{২১৪৫}{১৯৪০} \times ১০০$
   $\approx ১১০.৫৭$

   অতএব, ল্যাসপিয়ার্সের মূল্যসূচক সংখ্যা ১১০.৫৭।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   অধ্যাপক রহিম সাহেব বলেছেন, "ফিশারের সূচক সংখ্যা নির্ণয় করলে ইহা আদর্শ সূচক সংখ্যা হবে।" তাঁর বক্তব্যটি পুরোপুরি যথার্থ। নিম্নে এর সত্যতা তাত্ত্বিক ও গাণিতিক পরীক্ষার মাধ্যমে যাচাই করা হলো:

   ফিশারের সূচক সংখ্যাকে আদর্শ সূচক সংখ্যা বলার কারণসমূহ:
   ১. এটি ল্যাসপিয়ার্স ও প্যাশের সূচক সংখ্যার জ্যামিতিক গড়, যা সূচকের জন্য সর্বোৎকৃষ্ট গড় হিসেবে বিবেচিত।
   ২. এতে ভিত্তি বছর এবং চলতি বছর উভয় বছরের পরিমাণকে ভার হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
   ৩. এটি সূচক সংখ্যার দুটি মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ পরীক্ষা—'কাল বিপরীত পরীক্ষা' (Time Reversal Test) এবং 'উপাদান বিপরীত পরীক্ষা' (Factor Reversal Test) সন্তোষজনকভাবে উত্তীর্ণ করে।

   প্রমাণ:
   ফিশারের মূল্যসূচক সংখ্যা, $P_{01} = \sqrt{ \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \times \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} }$

   (ক) কাল বিপরীত পরীক্ষা (Time Reversal Test):
   $P_{10} = \sqrt{ \frac{\sum p_0 q_1}{\sum p_1 q_1} \times \frac{\sum p_0 q_0}{\sum p_1 q_0} }$
   এখন, $P_{01} \times P_{10} = \sqrt{ \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \times \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} \times \frac{\sum p_0 q_1}{\sum p_1 q_1} \times \frac{\sum p_0 q_0}{\sum p_1 q_0} } = \sqrt{১} = ১$
   যেহেতু $P_{01} \times P_{10} = ১$, তাই এটি কাল বিপরীত পরীক্ষা মেনে চলে।

   (খ) উপাদান বিপরীত পরীক্ষা (Factor Reversal Test):
   ফিশারের পরিমাণসূচক সংখ্যা, $Q_{01} = \sqrt{ \frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0 p_0} \times \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_1} }$
   এখন, $P_{01} \times Q_{01} = \sqrt{ \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \times \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} \times \frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0 p_0} \times \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0 p_1} }$
   $= \sqrt{ \frac{(\sum p_1 q_1)^2}{(\sum p_0 q_0)^2} } = \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} = V_{01}$ (মূল্যমান অনুপাত)
   যেহেতু $P_{01} \times Q_{01} = V_{01}$, সেহেতু ফিশারের সূচক সংখ্যা উপাদান বিপরীত পরীক্ষাও সফলভাবে মেনে চলে।

   যেহেতু ফিশারের সূচক সংখ্যা অন্যান্য সূচক সংখ্যার ত্রুটিমুক্ত এবং গুরুত্বপূর্ণ স্বতঃসিদ্ধ পরীক্ষাগুলো পূরণ করে, তাই অধ্যাপক রহিম সাহেবের বক্তব্যটি সম্পূর্ণ সত্য।