গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$12x^3 - 8x^2 + 6x - 3 = 0$
সমীকরণটির মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$।

এখানে,
$S_n = \frac{1}{(2\alpha + 1)^n} + \frac{1}{(2\beta + 1)^n} + \frac{1}{(2\gamma + 1)^n}$
অতএব,
$S_{-3} = (2\alpha + 1)^3 + (2\beta + 1)^3 + (2\gamma + 1)^3$

ধরি, $y = 2x + 1 \implies x = \frac{y - 1}{2}$

প্রদত্ত সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$12\left(\frac{y - 1}{2}\right)^3 - 8\left(\frac{y - 1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{y - 1}{2}\right) - 3 = 0$
$\implies \frac{12}{8}(y - 1)^3 - \frac{8}{4}(y - 1)^2 + 3(y - 1) - 3 = 0$
$\implies \frac{3}{2}(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - 2(y^2 - 2y + 1) + 3y - 3 - 3 = 0$
উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$3(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - 4(y^2 - 2y + 1) + 6y - 12 = 0$
$\implies 3y^3 - 9y^2 + 9y - 3 - 4y^2 + 8y - 4 + 6y - 12 = 0$
$\implies 3y^3 - 13y^2 + 23y - 19 = 0$

এই সমীকরণের মূলগুলো হলো $y_1 = 2\alpha + 1, y_2 = 2\beta + 1, y_3 = 2\gamma + 1$।

মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে:
$\sum y_1 = y_1 + y_2 + y_3 = \frac{13}{3}$
$\sum y_1 y_2 = y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_1 = \frac{23}{3}$
$y_1 y_2 y_3 = \frac{19}{3}$

এখন,
$\sum y_1^2 = (\sum y_1)^2 - 2\sum y_1 y_2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{23}{3}\right) = \frac{169}{9} - \frac{46}{3} = \frac{31}{9}$

যেহেতু মূলগুলো সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই:
$3y^3 - 13y^2 + 23y - 19 = 0 \implies 3y^3 = 13y^2 - 23y + 19$

যোগ করে পাই:
$3\sum y_1^3 = 13\sum y_1^2 - 23\sum y_1 + 3(19)$
$3\sum y_1^3 = 13\left(\frac{31}{9}\right) - 23\left(\frac{13}{3}\right) + 57$
$3\sum y_1^3 = \frac{403}{9} - \frac{299}{3} + 57 = \frac{403 - 897 + 513}{9} = \frac{19}{9}$
$\implies S_{-3} = \sum y_1^3 = \frac{19}{27}$

উত্তর: $\frac{19}{27}$