উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:
   4x² + 7y² = 28

   উভয়পক্ষকে 28 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   x²/7 + y²/4 = 1
   বা, x²/(√7)² + y²/2² = 1

   এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, যেখানে a² = 7 এবং b² = 4।
   এখানে, a > b

   সুতরাং উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা,
   e = √(1 - b²/a²)
   = √(1 - 4/7)
   = √(3/7)
   = √21/7

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   শীর্ষবিন্দু A(1, -2)
   নিয়ামক রেখার সমীকরণ: 3x - 4y - 1 = 0 ... (i)

   পরাবৃত্তের অক্ষরেখা নিয়ামক রেখার ওপর লম্ব।
   সুতরাং অক্ষরেখার সমীকরণ:
   4x + 3y + k = 0
   যেহেতু অক্ষরেখাটি শীর্ষবিন্দু A(1, -2) দিয়ে যায়, তাই:
   4(1) + 3(-2) + k = 0
   বা, 4 - 6 + k = 0
   বা, k = 2

   অতএব অক্ষরেখার সমীকরণ: 4x + 3y + 2 = 0 ... (ii)

   এখন (i) ও (ii) সমাধান করে নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দু Z নির্ণয় করি:
   (i) × 3 + (ii) × 4 করে পাই,
   9x - 12y - 3 + 16x + 12y + 8 = 0
   বা, 25x + 5 = 0
   বা, x = -1/5

   x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
   3(-1/5) - 4y - 1 = 0
   বা, 4y = -3/5 - 1 = -8/5
   বা, y = -2/5

   অতএব Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1/5, -2/5)।

   ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(α, β)।
   যেহেতু শীর্ষবিন্দু A হলো SZ এর মধ্যবিন্দু:
   (α - 1/5)/2 = 1 => α - 1/5 = 2 => α = 11/5
   (β - 2/5)/2 = -2 => β - 2/5 = -4 => β = -18/5
   সুতরাং উপকেন্দ্র S(11/5, -18/5)।

   পরাবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু P(x, y) হলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে SP = PM
   বা, SP² = PM²
   বা, (x - 11/5)² + (y + 18/5)² = [(3x - 4y - 1)/√(3² + (-4)²)]²
   বা, (5x - 11)²/25 + (5y + 18)²/25 = (3x - 4y - 1)²/25
   বা, (5x - 11)² + (5y + 18)² = (3x - 4y - 1)²
   বা, 25x² - 110x + 121 + 25y² + 180y + 324 = 9x² + 16y² + 1 - 24xy - 6x + 8y
   বা, 16x² + 24xy + 9y² - 104x + 172y + 444 = 0
   বা, (4x + 3y)² - 104x + 172y + 444 = 0

   ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   f(x, y) = x² - 8x - 4y + 20

   সুতরাং পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   x² - 8x - 4y + 20 = 0
   বা, x² - 8x = 4y - 20
   বা, x² - 2 · x · 4 + 4² = 4y - 20 + 16
   বা, (x - 4)² = 4y - 4
   বা, (x - 4)² = 4 · 1 · (y - 1)

   ধরি, X = x - 4, Y = y - 1 এবং a = 1।
   সমীকরণটি X² = 4aY আকারের।

   ১. উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
   Y = a
   বা, y - 1 = 1
   বা, y - 2 = 0

   ২. নিয়ামকের সমীকরণ:
   Y = -a
   বা, y - 1 = -1
   বা, y = 0

   ৩. অক্ষরেখার সমীকরণ:
   X = 0
   বা, x - 4 = 0