গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$\sin^{-1}x + \sin^{-1}(1 - x) = \cos^{-1}x$

বা, $\sin^{-1}(1 - x) = \cos^{-1}x - \sin^{-1}x$
বা, $\sin^{-1}(1 - x) = \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x\right) - \sin^{-1}x$ [যেহেতু $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$]
বা, $\sin^{-1}(1 - x) = \frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x$

উভয়পক্ষে সাইন (sine) অনুপাত নিয়ে পাই,
$1 - x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\sin^{-1}x\right)$
বা, $1 - x = \cos(2\sin^{-1}x)$
বা, $1 - x = 1 - 2\sin^2(\sin^{-1}x)$ [যেহেতু $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$]
বা, $1 - x = 1 - 2x^2$
বা, $2x^2 - x = 0$
বা, $x(2x - 1) = 0$

অতএব, $x = 0$ অথবা $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$

যাচাইকরণ:
১. $x = 0$ হলে:
LHS $= \sin^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
RHS $= \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ (সিদ্ধ)

২. $x = \frac{1}{2}$ হলে:
LHS $= \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
RHS $= \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ (সিদ্ধ)

নির্ণেয় সমাধান: $x = 0, \frac{1}{2}$