গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি,
$I = \int \frac{dx}{\cos x + \sin x}$

লব ও হরকে $\frac{1}{\sqrt{2}}$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4}}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec\left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx$
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \sec\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \right| + c$
(যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)

[অথবা: $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\right| + c$]