পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিমাত্রিক দৈব চলকের ক্ষেত্রে কোনো একটি চলকের সম্ভাবনা অপেক্ষক অন্য চলকটির সকল মানের সমষ্টির মাধ্যমে নির্ণয় করা হলে তাকে ঐ চলকের প্রান্তীয় সম্ভাবনা অপেক্ষক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সমগ্রকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা যদি সমান হয়, অর্থাৎ সমসম্ভাব্য ঘটনা হয়, তবে দৈব চলক $x$-এর গাণিতিক প্রত্যাশা সমগ্রকের গাণিতিক গড় ($\bar{x}$)-এর সমান হয়।
   যদি $x$ চলকটির $N$ সংখ্যক মান $x_1, x_2, \dots, x_N$ থাকে এবং প্রত্যেকের সম্ভাবনা সমান, অর্থাৎ $P(x_i) = \frac{1}{N}$ হয়, তবে:
   $E(x) = \sum_{i=1}^N x_i P(x_i) = \sum_{i=1}^N x_i \cdot \frac{1}{N} = \frac{\sum x_i}{N} = \bar{x}$
   সুতরাং, প্রতিটি মানের সম্ভাবনা সমান হলে গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় পরস্পর সমান হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $x$-এর মানসমূহ এবং তাদের সম্ভাবনা:
   $x$: $-2, -1, 0, 1, 2$
   $P(x)$: $0.20, 0.15, 0.10, 0.15, 0.40$

   $x$-এর গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
   $E(x) = \sum x \cdot P(x)$

   মান বসিয়ে পাই:
   $E(x) = (-2)(0.20) + (-1)(0.15) + (0)(0.10) + (1)(0.15) + (2)(0.40)$
   $= -0.40 - 0.15 + 0 + 0.15 + 0.80$
   $= 0.40$

   সুতরাং, $x$-এর গাণিতিক প্রত্যাশা $E(x) = 0.4$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $v(x) = 2.54$ এবং $y = 3x + 5$।

   আমরা জানি, ভেদাঙ্কের ধর্মাবলি অনুসারে:
   $v(ax + b) = a^2 v(x)$

   প্রথমত, $v(3x - 12)$ এর মান নির্ণয়:
   $v(3x - 12) = 3^2 \cdot v(x) = 9 \cdot v(x) = 9 \times 2.54 = 22.86$

   দ্বিতীয়ত, $v(3y - 12)$ এর জন্য প্রথমে $y$-এর স্থানে $3x+5$ বসিয়ে পাই:
   $3y - 12 = 3(3x + 5) - 12 = 9x + 15 - 12 = 9x + 3$
   অতএব,
   $v(3y - 12) = v(9x + 3) = 9^2 \cdot v(x) = 81 \cdot v(x) = 81 \times 2.54 = 205.74$

   তুলনা:
   $\frac{v(3y - 12)}{v(3x - 12)} = \frac{81 \cdot v(x)}{9 \cdot v(x)} = 9$
   অর্থাৎ, $v(3y - 12) = 9 \times v(3x - 12)$।
   সুতরাং, $v(3y - 12)$ এর মান $v(3x - 12)$ এর মানের চেয়ে ৯ গুণ বড়।