গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\sin^{-1}(2x) + \sin^{-1}(x) = \frac{\pi}{3}$
$\implies \sin^{-1}(2x) = \frac{\pi}{3} - \sin^{-1}(x)$

উভয়পাশে sine অনুপাত নিয়ে পাই,
$2x = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \sin^{-1}(x)\right)$
$\implies 2x = \sin\frac{\pi}{3} \cos(\sin^{-1}x) - \cos\frac{\pi}{3} \sin(\sin^{-1}x)$
$\implies 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} - \frac{1}{2}x$
$\implies 2x + \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2}$
$\implies \frac{5x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2}$
$\implies 5x = \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে,
$25x^2 = 3(1 - x^2)$
$\implies 25x^2 = 3 - 3x^2$
$\implies 28x^2 = 3$
$\implies x^2 = \frac{3}{28}$
$\implies x = \pm \sqrt{\frac{3}{28}} = \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}$

যেহেতু সমীকরণের ডানপক্ষ ধনাত্মক $\left(\frac{\pi}{3}\right)$, তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয় (ঋণাত্মক মানের জন্য বামপক্ষ ঋণাত্মক হয়ে যায়)।

অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}$ বা $\sqrt{\frac{3}{28}}$।