গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০২২-২০২৩

গণিত প্রশ্ন

9.

যদি sin⁡α+sin⁡β=a\sin\alpha + \sin\beta = a এবং cos⁡α+cos⁡β=b\cos\alpha + \cos\beta = b হয়, তবে প্রমাণ কর যে, tan⁡α−β2\tan\frac{\alpha - \beta}{2}=±4−a2−b2a2+b2= \pm \sqrt{\frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
sin⁡α+sin⁡β=a\sin\alpha + \sin\beta = a ...... (i)
cos⁡α+cos⁡β=b\cos\alpha + \cos\beta = b ...... (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করি:
(sin⁡α+sin⁡β)2+(cos⁡α+cos⁡β)2=a2+b2(\sin\alpha + \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2 = a^2 + b^2
⇒(sin⁡2α+cos⁡2α)+(sin⁡2β+cos⁡2β)+2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)=a2+b2\Rightarrow (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = a^2 + b^2
⇒1+1+2cos⁡(α−β)=a2+b2\Rightarrow 1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta) = a^2 + b^2
⇒2(1+cos⁡(α−β))=a2+b2\Rightarrow 2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = a^2 + b^2
⇒2⋅2cos⁡2(α−β2)=a2+b2\Rightarrow 2 \cdot 2\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = a^2 + b^2
⇒cos⁡2(α−β2)=a2+b24\Rightarrow \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{a^2 + b^2}{4}

সুতরাং,
sin⁡2(α−β2)=1−cos⁡2(α−β2)=1−a2+b24=4−a2−b24\sin^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1 - \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1 - \frac{a^2 + b^2}{4} = \frac{4 - a^2 - b^2}{4}

এখন,
tan⁡2(α−β2)=sin⁡2(α−β2)cos⁡2(α−β2)\tan^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{\sin^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}
⇒tan⁡2(α−β2)=4−a2−b24a2+b24=4−a2−b2a2+b2\Rightarrow \tan^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{\frac{4 - a^2 - b^2}{4}}{\frac{a^2 + b^2}{4}} = \frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}

∴tan⁡(α−β2)=±4−a2−b2a2+b2\therefore \tan\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন