গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র $S = (1, -1)$
দিকাক্ষের সমীকরণ: $x - y - 4 = 0$
উপবৃত্তটি $P_1(1, 1)$ বিন্দুগামী।

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা $e$ হলে,
$S(1, -1)$ হতে $P_1(1, 1)$ বিন্দুর দূরত্ব,
$SP_1 = \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2$

এবং $P_1(1, 1)$ বিন্দু হতে দিকাক্ষ $x - y - 4 = 0$ এর লম্ব দূরত্ব,
$PM_1 = \frac{|1 - 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
$SP_1 = e \cdot PM_1 \Rightarrow e = \frac{SP_1}{PM_1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

এখন উপবৃত্তের উপরিস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে,
$SP = e \cdot PM$
$\Rightarrow SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$\Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \left[\frac{|x - y - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\right]^2$
$\Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x - y - 4)^2}{2}$
$\Rightarrow 4\left(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1\right) = x^2 + y^2 + 16 - 2xy - 8x + 8y$
$\Rightarrow 4x^2 + 4y^2 - 8x + 8y + 8 = x^2 + y^2 - 2xy - 8x + 8y + 16$
$\Rightarrow 3x^2 + 2xy + 3y^2 - 8 = 0$

অতএব, নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ $3x^2 + 2xy + 3y^2 = 8$।