গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $A$ ও $B$ মেশিন দ্বারা বোল্ট তৈরির ঘটনা যথাক্রমে $E_A$ ও $E_B$ এবং একটি বোল্ট ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা $D$।

যেহেতু একটি নির্দিষ্ট সময়ে $A$ মেশিন, $B$ মেশিনের দ্বিগুণ বোল্ট তৈরি করে:
$P(E_A) = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
$P(E_B) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$

দেওয়া আছে,
$A$ মেশিনের বোল্ট ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা, $P(D|E_A) = 2\% = 0.02$
$B$ মেশিনের বোল্ট ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা, $P(D|E_B) = 1\% = 0.01$

একটি বোল্ট পরীক্ষা করে ত্রুটিপূর্ণ পাওয়া গেলে, সেটি $A$ মেশিনে তৈরি হওয়ার সম্ভাব্যতা বেয়েসের উপপাদ্য (Bayes' Theorem) অনুযায়ী:
$P(E_A|D) = \frac{P(E_A) \cdot P(D|E_A)}{P(E_A) \cdot P(D|E_A) + P(E_B) \cdot P(D|E_B)}$

মান বসিয়ে পাই,
$P(E_A|D) = \frac{\frac{2}{3} \times 0.02}{\left(\frac{2}{3} \times 0.02\right) + \left(\frac{1}{3} \times 0.01\right)}$
$= \frac{\frac{0.04}{3}}{\frac{0.04 + 0.01}{3}} = \frac{0.04}{0.05} = \frac{4}{5} = 0.8$

উত্তর: বোল্টটি A মেশিনে প্রস্তুত হবার সম্ভাব্যতা $\frac{4}{5}$ বা $0.8$ (বা $80\%$)।